Une preuve formelle et intuitionniste du théorème de complétude de la logique classique

Il est bien connu que la correspondance de Curry-Howard permet d’associer un programme, sous la forme d’un λ-terme, à toute preuve intuitionniste, formalisée dans le calcul des prédicats du second ordre (voir, par exemple [3]). Cette correspondance a été étendue, assez récemment, à la logique classique moyennant une extension convenable du λ-calcul (voir [1,4,5,6]). Chaque théorème formalisé en logique du second ordre correspond donc à une spécification de programme. Il se pose alors le problème, en général tout à fait non trivial, de trouver la spécification associée à un théorème donné ; autrement dit, de déterminer le comportement opérationnel commun aux λ-termes associés aux diverses démonstrations formelles du théorème considéré. Cette question est résolue ici pour le théorème de complétude de la logique classique. La première étape consiste à formaliser convenablement ce théorème en logique du second ordre. Ce travail est fait complètement dans la section I. Il a comme sous-produit, peut-être inattendu, de montrer que ce théorème est prouvable en logique intuitionniste du second ordre (section II). Ceci, toutefois, à condition d’introduire une légère variante de la notion de modèle, en admettant un modèle supplémentaire trivial, où toute formule est satisfaite. On notera, à ce sujet, que des preuves intuitionnistes du théorème de complétude de la logique intuitionniste, utilisant des variantes de la notion de modèle de Kripke, ont été données par H. Friedman [7] et W. Veldman [8]. On remarquera également qu’un argument de G. Kreisel [2] montre que le théorème de complétude habituel de la logique intuitionniste n’a pas de preuve intuitionniste. La seconde étape est abordée dans la section III, où l’on se contente d’énoncer les résultats ; les preuves seront développées dans un article ultérieur. Cette étape consiste à analyser les λ-termes associés à toutes les preuves classiques du théorème de complétude.